Углы

Вертикальные углы равны.

Накрест лежащие углы равны.

Соответственные углы равны.

 

 

Сумма смежных углов равна 180o.

Сумма односторонних углов равна 180o.

 

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

 

Как найти расстояние от точки до прямой:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки к прямой.

 

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми:

Расстояние между двумя параллельными прямыми - это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой прямой.

 

Как доказать, что прямые параллельны:

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

1102, 1145, 1157

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180o, то прямые параллельны.

 

Две прямые, параллельные третьей - параллельны.

Две прямые, перпендикулярные третьей - параллельны.

 

 

Треугольники

 

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины к стороне, содержащей противоположную сторону.

 

Признаки подобия треугольников:

- по двум равным углам

- по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

- по трем пропорциональным сторонам

 

Признаки равенства треугольников:

- по двум равным углам и стороне между ними

- по двум равным сторонам и углу между ними

- по трем равным сторонам

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

- три стандартных признака равенства (с учетом того, что прямой угол одного прямоугольного треугольника всегда равен прямому углу другого прямоугольного треугольника - доказывать равенство прямоугольных треугольников легче)

- по двум катетам

- по катету и гипотенузе

или, если обобщить, то - по двум сторонам

 

Средняя линия треугольника праллельна основанию и равна его половине.

 

Площадь треугольника:

- через сторону и высоту, опущенную из противоположной вершины

$$\triangle S = \frac12ah$$

- через две стороны и синус угла между ними

$$\triangle S = \frac12ab\: sin\angle C$$

- через полупериметр и радиус вписанной окружности

$$\triangle S = pr$$

 

Площадь параллелограмма:

- через сторону и высоту, опущенную из противоположной вершины

$$S = ah$$

- через две стороны и синус угла между ними

$$S = ab\: sin\angle C$$

 

 

Как находить радиус окружности, вписанной в треугольник:

- из формулы площади треугольника, зная полупериметр и площадь треугольника

 

Как находить радиус окружности, описанной вокруг треугольника:

- по теореме синусов, зная сторону и sin противолежащего ей угла

 

Теорема синусов:

$${a \over sin(\angle A)} = {b \over sin(\angle B)} = {c \over sin(\angle C)} = 2R$$

 

Как найти сторону треугольника, если известны две другие стороны и cos угла между ними:

- по теореме косинусов

 

Теорема косинусов:

$$\color{blue}с^2 = \color{red}a^2 + \color{green}b^2 - 2\color{red}a\color{green}b\: cos(\color{blue}{\angle C})$$ $$a/\sin(\color{green}{A}) = 2R$$

 

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Параллелограмм - это четырехугольник, у котороого противоположные стороны попарно параллельны.

 

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом:

Четырехугольник является параллелограммом, если в нем:

- противоположные стороны попарно параллельны (определение)

или

- противоположные стороны попарно равны

или

- две стороны равны и параллельны

или

- диагонали точкой пересечения делятся пополам

 

Что нам даст, если мы докажем, что четырехугольник является параллелограммом:

Если четырехугольник является параллелограммом, то у него:

- противоположные стороны попарно параллельны (определение)

- противоположные стороны попарно равны

- противоположные углы равны

- диагонали точкой пересечения делятся пополам

 

 

Прямоугольник - это параллелограмм, у котогого все углы прямые.

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого есть прямой угол (нужно доказывать).

 

Как доказать, что параллелограмм является прямогольником:

Параллелограмм является прямоугольником, если у него:

- все углы прямые (определение)

или

- есть прямой угол (нужно доказывать)

или

- диагонали равны

 

Что нам даст, если мы докажем, что четырехугольник является прямоугольником:

Если четырехугольник является прямоугольником, то у него:

- все свойства параллелограмма

- диагонали равны

 

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб - это параллелограмм, у которого две прилежащие стороны равны (нужно доказывать).

 

Как доказать, что параллелограмм является ромбом:

Параллелограмм является ромбом, если у него:

- все стороны равны (определение)

- две прилежащие стороны равны (нужно доказывать).

 

Что нам даст, если мы докажем, что четырехугольник является ромбом:

Если четырехугольник является ромбом, то у него:

- все свойства параллелограмма

- диагонали взаимно перпендикулярны

- диагонали делят углы пополам

 

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат - это ромб с прямым углом (нужно доказывать).

 

Как доказать, что прямоугольник является квадратом:

Прямоугольник является квадратом, если у него:

- все стороны равны (определение)

 

Как доказать, что ромб является квадратом:

Ромб является квадратом, если у него:

- есть прямой угол (нужно доказывать)

 

Что нам даст, если мы докажем, что четырехугольник является квадратом:

Если четырехугольник является квадратом, то у него:

- все стороны равны (определение)

- все свойства прямоугольника

- все свойства ромба